Момент (математика)

Статические моменты точки${\displaystyle M}$ относительно осей ${\displaystyle Ox}$ и ${\displaystyle Oy}$ — произведения ${\displaystyle my}$ и ${\displaystyle mx}$ соответственно, где ${\displaystyle m}$ — массаматериальной точки${\displaystyle M}$, имеющей координаты ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ на плоскости^[2].

Рассмотрим спрямляемую кривую${\displaystyle AB=\{r(l),\,0\leqslant l\leqslant L\}}$, где ${\displaystyle l}$ — переменная длина дуги. Кривая ${\displaystyle AB}$ имеет массу, причём масса её дуги прямо пропорциональна длине дуги, то есть масса дуги длиной ${\displaystyle \Delta l}$ равна ${\displaystyle \Delta m=\rho \Delta l}$, где ${\displaystyle \rho }$ — некоторая постоянная^[2].

Линейная плотность кривой${\displaystyle AB}$ — коэффициент пропорциональности ${\displaystyle \rho ={\frac {\Delta m}{\Delta l}}}$, где дуга длиной ${\displaystyle \Delta l}$ имеет массу ${\displaystyle \Delta m}$, то есть плотность кривой есть массе длины её дуги, которая приходится на единицу длины этой дуги^[2].

Однородная кривая — кривая с линейной плотностью^[2].

Пусть для простоты в дальнейшем ${\displaystyle \rho =1}$, то есть дуга длиной ${\displaystyle \Delta l}$ имеет массу ${\displaystyle \Delta l}$, в частности, масса всей кривой ${\displaystyle AB}$ равна ${\displaystyle L}$^[2].

Момент кривой относительно оси — момент ${\displaystyle M_{x}}$ (${\displaystyle M_{y}}$) кривой ${\displaystyle AB}$ относительно оси ${\displaystyle Ox}$ (${\displaystyle Oy}$) равен следующей величине^[4]:

${\displaystyle M_{x}=\int _{0}^{L}y\,dl\quad }$${\displaystyle \left(M_{y}=\int _{0}^{L}x\,dl\right)}$.

Центр тяжести кривой — точка плоскости ${\displaystyle P(x_{0},\,y_{0})}$ такая, что если в ней находится материальная точка с массой ${\displaystyle L}$ всей кривой ${\displaystyle AB}$, то тогда статический момент этой точки относительно любой координатной оси равен статическому моменту ей кривой относительно той же оси^[4].

По определению получаем, что

${\displaystyle x_{0}L=M_{y},\quad }$${\displaystyle y_{0}L=M_{x},}$

то есть имеем следующие формулы^[4]:

${\displaystyle x_{0}={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}x\,dl,\quad }$${\displaystyle y_{0}={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}y\,dl.}$

Теорема Гульдина. Площадь поверхности вращения кривой около некоторой не пересекающей её оси равна произведению длины этой кривой и длины окружности, которая описана центром тяжести этой кривой^[6].

Доказательство. Сравним формулу ординаты центра тяжести кривой (непрерывно дифференцируемой без особых точек)

${\displaystyle y_{0}L=\int _{0}^{L}y\,dl}$

с формулой площади поверхности вращения этой же кривой вокруг некоторой оси

${\displaystyle S=\int _{0}^{L}2\pi y\,dl}$,

имеем интересное соотношение

${\displaystyle S=2\pi y_{0}L}$,

которое и доказывает теорему^[6].

Если у кривой известно положение центра тяжести, то тогда по теорема Гульдина легко находится площадь поверхности вращения этой кривой^[6].

Пусть дана некоторая плоская фигура${\displaystyle AA'B'B}$ (см. рис.) — криволинейную трапецию, которая ограничена сверху кривой${\displaystyle AB}$ с явным уравнением неотрицательной функции${\displaystyle y=f(x)}$, и по этой фигуре равномерно распределена масса с постоянной поверхностной плотностью${\displaystyle \rho }$. Без умаления общности положим ${\displaystyle \rho =1}$, то есть масса произвольной части фигуры равна её площади, что всегда подразумевается, когда рассматривают статические моменты (или центр тяжести) плоской фигуры^[8].

Вычислим статические моменты ${\displaystyle M_{x}}$ и ${\displaystyle M_{y}}$ криволинейной трапеции относительно осей координат. Рассмотрим произвольный элемент фигуры как бесконечно узкую вертикальную полоску (см. рис.). Аппроксимировав эту полоску прямоугольником, получаем её массу (и площадь) ${\displaystyle ydx}$. Пусть масса полоски сосредоточена в её центре тяжести, то есть в центре прямоугольника, что не меняет величины статических моментов. Координаты этого центра тяжести ${\displaystyle \left(x+{\frac {1}{2}}dx,\,{\frac {1}{2}}y\right)=\left(x,\,{\frac {1}{2}}y\right)}$, поскольку ${\displaystyle {\frac {1}{2}}dx\cdot ydx}$ есть бесконечно малая второго порядка. Поэтому получаем следующие элементарные статические моменты^[9]:

${\displaystyle dM_{x}={\frac {1}{2}}y^{2}dx,\quad }$${\displaystyle dM_{y}=xydx.}$

После суммирования этих элементарных моментов получаем статистические моменты

${\displaystyle M_{x}={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}y^{2}\,dx,\quad }$${\displaystyle M_{y}=\int _{a}^{b}xy\,dx,}$

где ${\displaystyle y=f(x)}$^[9].

Так же как и в случае статистических моментов кривой, теперь легко получить формулы для координат ${\displaystyle x_{0}}$ и ${\displaystyle y_{0}}$центра тяжести плоской фигуры. Пусть ${\displaystyle S}$ — площадь (и масса) фигуры, тогда по основному свойству центра тяжести

${\displaystyle Sx_{0}=M_{y}=\int _{a}^{b}xy\,dx,\quad }$${\displaystyle Sy_{0}=M_{x}={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}y^{2}\,dx,}$

откуда получаем следующие координаты центра тяжести^[10]:

${\displaystyle x_{0}={\frac {1}{S}}M_{y}={\frac {1}{S}}\int _{a}^{b}xy\,dx,\quad }$${\displaystyle y_{0}={\frac {1}{S}}M_{x}={\frac {1}{2S}}\int _{a}^{b}y^{2}\,dx.}$

Вторая теорема Гульдина. Объём тела вращения плоской фигуры около некоторой не пересекающей её оси равен произведению площади этой фигуры и длины окружности, которая описана центром тяжести этой фигуры^[11].

Доказательство. Сравним формулу ординаты центра тяжести плоской фигуры

${\displaystyle 2y_{0}S=\int _{a}^{b}y^{2}\,dx}$

с формулой тела вращения этой же кривой вокруг некоторой оси

${\displaystyle V=\int _{a}^{b}\pi y^{2}\,dx}$,

имеем интересное соотношение

${\displaystyle V=2\pi y_{0}S}$,

которое и доказывает теорему^[11].

Эти формулы справедливы и для такой фигуры, которая ограничена снизу и сверху кривыми соответственно

${\displaystyle y_{1}=f_{1}(x),\quad }$${\displaystyle y_{2}=f_{2}(x),}$

в этом случае имеем следующие формулы статистических моментов^[11][12]:

${\displaystyle M_{x}={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}(y_{2}^{2}-y_{1}^{2})\,dx,\quad }$${\displaystyle M_{y}=\int _{a}^{b}x(y_{2}-y_{1})\,dx.}$

Преобразование формул для координат центра тяжести очевидны^[11][13]:

${\displaystyle x_{0}={\frac {1}{S}}M_{y}={\frac {1}{S}}\int _{a}^{b}x(y_{2}-y_{1})\,dx,\quad }$${\displaystyle y_{0}={\frac {1}{S}}M_{x}={\frac {1}{2S}}\int _{a}^{b}(y_{2}^{2}-y_{1}^{2})\,dx.}$

Поскольку площадь такой фигуры есть

${\displaystyle S=\int _{a}^{b}(y_{2}-y_{1})\,dx}$,

то вторая теорема Гульдина верна и здесь^[11][13].