Распределение вероятностей

Распределение вероятностей — это закон, описывающий область значений случайной величины и соответствующие вероятности появления этих значений.

Пусть задано вероятностное пространство${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$, и на нём определена случайная величина ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$. В частности, по определению, ${\displaystyle X}$ является измеримым отображениемизмеримого пространства${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ в измеримое пространство ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$, где ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ обозначает борелевскую сигма-алгебру на ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Тогда случайная величина ${\displaystyle X}$ индуцирует вероятностную меру${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ следующим образом:

${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}(B)=\mathbb {P} (\{\omega :X(\omega )\in B\}),\;\forall B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ).}$

Мера ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$ называется распределением случайной величины ${\displaystyle X}$. Иными словами, ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}(B)=\mathbb {P} (X\in B)}$, таким образом ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}(B)}$ задаёт вероятность того, что случайная величина ${\displaystyle X}$ попадает во множество ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$.

Функция ${\displaystyle F_{X}(x)=\mathbb {P} ^{X}((-\infty ,x))=\mathbb {P} (X$ называется функцией распределения случайной величины ${\displaystyle X}$. Из свойств вероятности вытекает теорема:

Функция распределения ${\displaystyle F_{X}(x)}$ любой случайной величины удовлетворяет следующим трем свойствам^[1]:

1. ${\displaystyle F_{X}(x)}$ — функция неубывающая;
2. ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0,\;\lim _{x\to \infty }F_{X}(x)=1}$;
3. ${\displaystyle F_{X}}$непрерывна слева.

Теорема:

Если функция ${\displaystyle F(x)}$ удовлетворяет перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что ${\displaystyle F(x)}$ является её функцией распределения^[1].

Для вероятностных распределений, обладающих определенными свойствами, существуют более удобные способы их задания. В то же время распределения (и случайные величины) принято классифицировать по характеру функций распределения^[2].

Случайная величина ${\displaystyle X}$ называется простой или дискретной, если она принимает не более чем счётное, конечное число значений. То есть ${\displaystyle X(\omega )=a_{i},\;\forall \omega \in A_{i}}$, где ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ — разбиение ${\displaystyle \Omega }$.

Распределение простой случайной величины тогда по определению задаётся: ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}(B)=\sum _{i:a_{i}\in B}\mathbb {P} (A_{i})}$. Введя обозначение ${\displaystyle p_{i}=\mathbb {P} (A_{i})}$, можно задать функцию ${\displaystyle p(a_{i})=p_{i}}$. В силу свойств вероятности ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }p_{i}=1}$. Используя счётную аддитивность ${\displaystyle \mathbb {P} }$, легко показать, что эта функция однозначно определяет распределение ${\displaystyle X}$.

Набор вероятностей ${\displaystyle p(a_{i})=p_{i}}$, где ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }p_{i}=1}$ называется распределением вероятностей дискретной случайной величины${\displaystyle X}$. Совокупность значений ${\displaystyle a_{i},i=1,2...\infty }$ и вероятностей ${\displaystyle p_{i},i\in {1,2...\infty }}$ называется дискретным законом распределения вероятностей^[3].

Для иллюстрации сказанного выше, рассмотрим следующий пример.

Пусть функция ${\displaystyle p}$ задана таким образом, что ${\displaystyle p(-1)={\frac {1}{2}}}$ и ${\displaystyle p(1)={\frac {1}{2}}}$. Эта функция задаёт распределение случайной величины ${\displaystyle X}$, для которой ${\displaystyle \mathbb {P} (X=\pm 1)={\frac {1}{2}}}$ (см. распределение Бернулли, где случайная величина принимает значения ${\displaystyle 0,1}$). Случайная величина ${\displaystyle X}$ является моделью подбрасывания уравновешенной монеты.

Другими примерами дискретных случайных величин являются распределения

• Пуассона
• биномиальное
• геометрическое

Дискретное распределение обладает следующими свойствами:

1. ${\displaystyle p_{i}\geqslant 0}$,
2. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}=1}$, если множество значений является конечным — из свойств вероятности,
3. Функция распределения ${\displaystyle F_{X}(x)}$ имеет конечное или счётное множество точек разрыва первого рода,
4. Если ${\displaystyle x_{0}}$ — точка непрерывности ${\displaystyle F_{X}(x)}$, то ${\displaystyle {\frac {dF_{X}(x_{0})}{dx}}=0}$.

Решётчатым называется распределение с дискретной функцией распределения и точки разрыва функции распределения образуют подмножество точек вида ${\displaystyle a+nh}$, где ${\displaystyle a}$ - вещественное, ${\displaystyle h>0}$, ${\displaystyle n}$ — целое^[4].

Теорема. Для того, чтобы функция распределения ${\displaystyle F}$ была решётчатой с шагом ${\displaystyle h}$, необходимо и достаточно, чтобы её характеристическая функция${\displaystyle f}$ удовлетворяла соотношению ${\displaystyle |f(2\pi /h)|=1}$^[4].

Распределение случайной величины ${\displaystyle X}$ называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная функция, такая что

${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}(B)\equiv \mathbb {P} (X\in B)=\int \limits _{B}f_{X}(x)\,dx}$.

Тогда функция ${\displaystyle f_{X}}$ называется плотностью распределения вероятностей случайной величины${\displaystyle X}$.

Функция таких распределений абсолютно непрерывна в смысле Лебега.

Примерами абсолютно непрерывных распределений являются

• нормальное
• равномерное
• экспоненциальное
• распределение Коши.

Пример. Пусть ${\displaystyle f(x)=1}$, когда ${\displaystyle 0\leqslant x\leqslant 1}$, и ${\displaystyle f(x)=0}$ в противном случае. Тогда ${\displaystyle \mathbb {P} (a$, если ${\displaystyle (a,b)\subset [0,1]}$.

Для любой плотности распределения ${\displaystyle f_{X}}$ верны свойства:

1. ${\displaystyle f_{X}(x)\geqslant 0}$;
2. ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\,dx=1}$.

Верно и обратное. Если

1. ${\displaystyle f(x)\geqslant 0,\;\forall x\in \mathbb {R} }$;
2. ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1}$,

то существует распределение ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$ такое, что ${\displaystyle f(x)}$ является его плотностью.

Применение формулы Ньютона-Лейбница приводит к следующим соотношениям между функцией и плотностью абсолютно непрерывного распределения:

${\displaystyle \mathbb {P} (a$.

Теорема. Если ${\displaystyle f(x)}$ — непрерывная плотность распределения, а ${\displaystyle F(x)}$ — его функция распределения, то

1. ${\displaystyle F'(x)=f(x),\;\forall x\in \mathbb {R} ,}$
2. ${\displaystyle F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}f(t)\,dt}$.

При построении распределения на основе эмпирических данных следует избегать ошибок округления.

Кроме дискретных и непрерывных случайных величин существуют величины, не являющиеся ни дискретными, ни непрерывными ни на одном интервале. К таким случайным величинам относятся величины функции распределения которых непрерывны, но возрастают только на множестве лебеговой меры нуль^[5].

Сингулярными называют распределения, сосредоточенные на множестве нулевой меры, обычно меры Лебега.

где ${\displaystyle \Gamma }$ — гамма-функция, ${\displaystyle \gamma }$ — неполная гамма-функция, ${\displaystyle \psi =\Gamma '/\Gamma }$ — дигамма-функция, ${\displaystyle B}$ — бета-функция, ${\displaystyle I_{x}}$ — регуляризованная неполная бета-функция, ${\displaystyle _{1}F_{1}}$, ${\displaystyle _{2}F_{1}}$ — гипергеометрическая функция, ${\displaystyle J_{\alpha }}$ — функция Бесселя, ${\displaystyle I_{\nu }}$ — модифицированная функция Бесселя первого рода, ${\displaystyle K_{\nu }}$ — модифицированная функция Бесселя второго рода, ${\displaystyle U(a,b,z)}$ — функция Трикоми.

• Распределение вероятностей : [арх. 27 ноября 2022] // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
• Лагутин М.Б. Наглядная математическая статистика. — М.: Бином, 2009. — 472 с.
• Жуковский М.Е., Родионов И.В. Основы теории вероятностей. — М.: МФТИ, 2015. — 82 с.
• Жуковский М.Е., Родионов И.В., Шабанов Д.А. Введение в математическую статистику. — М.: МФТИ, 2017. — 109 с.
• Рамачандран Б. Теория характеристических функций. — М.: Наука, 1975. — 224 с.
• Королюк В.С., Портенко Н.И., Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Наука, 1985. — 640 с.
• Губарев В.В. Вероятностные модели: Справочник в 2-х частях. — Новосибирск.: Новосибир. электротехн. ин-т, 1992. — 422 с.

• Маргинальное распределение

Эту статью следует сделать более понятной широкому кругу читателей.

Пожалуйста, помогите улучшить статью, не удаляя технических деталей, чтобы она стала понятна неспециалисту. Вам могут помочь советы в этом эссе.(10 февраля 2017)

В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску).

Информация должна быть проверяема, иначе она может быть удалена. Вы можете отредактировать статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок.(21 марта 2015)